學生主要未能掌握好除法或乘法的意義,以至出現了奇怪的運算。(Shutterstock)

由於在數學課裏,要學生「畫出想法來」是一個新嘗試,事前大家多少有點擔心,不知道學生會畫出什麼來,甚至可能什麼也不畫。

作者:潘瑩明 (2019年7月13日於《灼見名家》發表)

跟不是教師的朋友談及一條很簡單的小學數學文字題:「你有五塊曲奇餅,把一半給了我。你還有多少塊餅呢?你可以畫出分餅的做法嗎?」朋友聽了覺得很奇怪,她說:「不就是一種方法嗎?」按她的構想,大概就是(圖一)的做法,而且她還自動寫出數式和把計算完成,給出小數和分數的答案。

(圖一)

後來,遇上八鄉中心小學的鄧老師和曾老師,他們有心探究學生在處理文字題時,怎樣能夠成功地從閱讀理解文字到寫出數式。假如失敗,又是在哪一個環節出現阻滯,和有什麼障礙。所以,他們安排了八節課(註1),用這一條文字題開始,請小五和小六的同學,在寫出數式和計算之前,先畫出他們的想法,下一步才寫出數式。

由於在數學課裏,要學生「畫出想法來」是一個新嘗試,事前大家多少有點擔心,不知道學生會畫出什麼來,甚至可能什麼也不畫。

沒有框框的思考

終於,上課了。

首先,鄧老師把問題變得生活化,像說故事一樣,跟學生說:「如果你有五塊曲奇餅,把一半給了曾老師。你還有多少塊餅呢?」跟着,他請學生不要寫出數式,不用計算,只要畫出他們的分餅方法。結果,在兩分鐘內,所有學生都畫好了。這時,老師才讓學生寫出答案。隨後,就請學生向鄰座同學展示圖畫,按圖講出自己的想法。

結果當老師看到不少學生畫出像下列(圖二)和(圖三)的分餅方法時,難免感到有點意外。

 

(圖二)

(圖三)

正如鄧老師說過:「老師是會有盲點的。」所以,大家在共同備課時,可能有點期待學生能夠畫出像(圖一)的分餅法,因為這個方法可以直接看出答案,也會導向除法運算,甚至因為是跟學生最近學習的分數運算有關。幸好,老師早已準備好不預設思考框框,判定對錯好壞,要讓學生自由發揮,再按每一位學生的原創思路去了解他們的想法,所以學生是完全可以自由發揮的。

拋開「教學進度」這個緊箍咒

課後,老師再細看兩位學生畫出的(圖二)和(圖三),再加上他們之後寫下的數式和計算(見圖四、五),由於他們把每塊餅都切割做兩份,所以他們把兩件切成半塊的餅併合成一塊,於是就用了加減法而不是(圖一)的除法。也有用乘法的見(圖六),同學們可說是施展渾身解數,自信滿滿地畫了自己的想法出來。

 

(圖四)是(圖二)的全貌

(圖五)是(圖三)的全貌

本來,設計課節時,打算以分數乘法計算的文字題入手,這樣(圖六)可算是最配合原本編定的教學進度。但是,結果在老師的鼓勵下,學生盡情展露了他們原創的解難能力,偏偏不用乘法,卻用上了加、減或除法。回想自己的課堂教學,假如已經設定了教學目標,卻遇到學生這些不拘一格的答案,我也可能會把學生這些想法輕輕帶過。最多就只會請同學展示圖一、四、五和六之後,集中講解(圖六)的做法,好能夠及時順利達到課程進度的要求。

(圖六)

這一次,因為老師想瞭解學生從文字轉化到數式的思考過程,於是把課堂從教學進度的束縳中釋放出來,務求營造一個開放的環境, 鼓勵學生大膽展露他們拆解文字題時,在以下三方面的想法:

  1. 問題的內容是什麼;
  2. 怎樣去解決問題;
  3. 會用上哪些數學語言。

而圖畫是語言文字以外,普遍小學生都會喜歡的表達工具,所以,便請他們畫出想法來。

陪着學生從已有的向前走

為了讓學生有足夠時間和空間去思考,表達和討論,短期的進度肯定會慢了,但長遠來說是更有效更有意義的數學學習。因為老師願意聆聽學生的想法,也鼓勵同學之間互相分享聆聽,不單單邀請表達得較成熟的學生在全班面前表演,而是人人有份。遇到不成熟的部份,大家一起去瞭解和調校。這樣比起一面倒側重講解標準的答題法,而是從學生本來的想法入手,學生才會更投入去思考數學,甚至成為興趣。

以分餅為例,其實當時所有學生都能夠說出分餅的答案:「兩塊半。」但看看圖七、八和九,他們的圖畫或文字答案都能夠表達「兩塊半餅」的意思,在數式或計算上卻見思考混亂而多誤差。假如把重點放眼在學生的錯處,那麼讓學生畫出想法來的課節,就只是讓學生和老師再嚐失敗的滋味,失去了想讓學生學得更好的原意了。那麼可以怎樣跟進呢?

(圖七)

(圖八)

(圖九)

從圖七至九所見,學生主要未能掌握好除法或乘法的意義,以至出現了奇怪的運算。這些問題,如果先欣賞和肯定他們的繪圖和答案,然後細心聆聽他們自成一家的運算法則,一方面老師可以即時跟他們傾談,幫忙梳理好學生的想法。另一方面,老師更可以從傾談中總結經驗,開發以後怎樣可以把分數運算教得更好更有效的策略。其中最可貴的是,可以加強了學生表達自我的自信,更加強師生之間的互信(註2)。

至於在教學法來說,畫圖方法有好幾種(註3),每一種從分數的意義到運算,都有幫助。這裏介紹的第一課可算是熱身。至於詳細關於怎樣用畫圖來梳理和推進學生的想法,請待後續。

註1:學校特意安排課餘時間,並組合了約30位學生,其中小五小六各佔一半,由鄧老師和曾老師進行協作教學。

註2:力推正向教育的八鄉中心學校,透過課程和活動,提供很多機會讓學生學習表達和聆聽的溝通能力,即使在數學課也如是。就像在合適的土壤上栽種,老師用心設計和推行「畫出想法來」的課節,給老師和學生都帶來寶貴的學習經歷。

註3:有興趣初步了解畫圖法可看:https://slideplayer.com/slide/13287999/。除了老師值得參考,家長也可用於幫忙孩子溫習。甚至也可以用來梳理自已一些混沌的想法。

畫出你的數學來之二

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