老師要求學生畫圖表達,就全部人都可以參與。(Shutterstock)

在「畫出想法來」的課堂,有一些非常重要的環節,是讓學生們哇啦哇啦地說個不停,和同學或老師之間對話,可以讓學生放聲思考,打通自己的思路。

作者:潘瑩明 (2019年12月28日於《灼見名家》發表)

為了讓學生投入學習,有時在數學課中,處理同一作業題時,老師會請幾位同學分別在黑板列出不同的數式和計算方法,然後請同學核對步驟和答案的正誤。至於學生怎樣理解問題,如何構想處理的方法,和對自己做法的檢討,就很難有機會在課堂展示了。於是很多課堂上的對話,都局限在一些預期的套路,偶然遇到另類答案和想法,也沒有時間和空間去討論。

即使有時間討論,由於數式和計算步驟已經是一些學習成果,很難再追溯學生的想法是怎樣形成的。所以有一種做法是在學生開始解題時,就讓他們畫出自己的想法來,讓他們用圖像或用日常語言去展示腦海中的思考過程,而不是即時從文字或數式題目,跨過思考過程,但求學生熟識套路,直接跳到數式和計算結果,核對答案。

之前寫了四篇「畫出你的數學來」(註1),關於八鄉中心小學的兩位老師,安排了八節課,用故事說出有關分數的文字題,請小五和小六的同學,在寫出數式和計算之前,先用圖像展現他們怎樣理解故事中有關分數的情境,下一步才寫出數式和計算。結果,學生們都高高興興地用五花八門的圖畫表現自己的理解能力,也給老師帶來好一些驚喜。

用畫圖打開數學的話匣子

以往要求學生一開始就用數式去翻譯文字題的情境,總會有不少學生交白卷或亂寫一些數式來敷衍。但是,要求他們畫圖表達,就全部人都可以參與。學生打從一開始拿到彩筆,就會滿有信心地塗畫。結果也顯示原來他們都明白文字內容的意思,只是走到應用數式或計算途中,有人思路接駁不上而已。

所以,在「畫出想法來」的課堂,有一些非常重要的環節,是讓學生們哇啦哇啦地說個不停,和同學或老師之間對話,可以讓學生放聲思考,打通自己的思路。

這些環節讓課堂變得鬧哄哄,老師大概順序安排如下:

  1. 學生畫圖後,要和鄰座同學互相解說為什麼會這樣畫,
  2. 列出數式後,找不同畫法或做法的同學,互相說明圖像和數式的關係,
  3. 期間,老師巡視學生的作品,遇見獨特(而不論對錯)的表現,可以和學生對談,聽他們怎樣講自己的想法,
  4. 老師遇到停滯了的學生,會傾談一下,稍加協助,鼓勵學生放膽嘗試,
  5. 全班完成畫圖後和列寫數式後,老師都會邀請學生向全班同學展示自己的作品和解說,同學可以提問,討論和比較不同的做法,有時原作者未能清楚說明以至同學誤解,會有明白了的同學幫助辨解。

課堂內的對話,有時同學之間的對話會比師生之間進行得更好。因為老師腦中已有慣用的答案,而學生的構想有時只是稍具雛形,甚至是凌亂,所以有些老師聽到這些另類說法,可能轉不過彎來,未能試用新的角度去接收。若要學生樂於使用放聲思考的學習方法,首要老師用心聆聽和耐性引導。

真誠地發聲,細心地聆聽

就如上一篇寫過的例子(註2),老師提出的文字題是「一班40位同學,其中3/8的人得獎,問有幾多位同學獲獎呢?」學生Mike在解說問題時,把40人誤作80人處理,發現錯處後,就以40作為80的半數來思考,把做法矯正過來。後來更洋洋自得地搶着向全班展示和解說。

Mike的解說,有兩點令人出乎意料。最初也令老師摸不着頭腦。

第一點:有別於一般學生急於掩蓋或塗掉錯誤部分的習慣,Mike把他錯誤的原作,毫不掩飾地暴露在全班同學面前。(見圖1.1)

圖1.1:Mike的作圖誤把40人當作80人,所以每一格代表10人,得出答案為30人。

第二點,Mike沒有單刀直入說出正解,他解說的重點是怎樣把錯誤轉化為正解的思考過程:「如果是80人時,每一格有10人,40是80的一半,每一格有5人,……。」(見圖1.2)

圖1.2:Mike分享了自己從錯誤中找出正解的思考過程

當老師預期學生直接說出正解時,首先看到是錯的做法,難免未能適應過來。於是,迷茫的老師抓抓頭,坦誠地回應:「我不明白為什麼是80人,突然又可以變為40人呢?!」

後來老師細心一想,才記起Mike開始時用了「如果」兩個字,所以Mike所用的80只是一個假設的數據,真正的是40。而Mike隨着80這個假設數據開始的一切運作是正確的,他只需要把所有數字減半便成了正解。老師想通後,幫忙把Mike的解說稍為重整一下,確認了他的處理方法。

如果老師沒有認真的聆聽,很容易便會錯失了學生解說中的重點,把學生獨特的思考方法輕易誤判為雜亂無章了。

謙虛地融合

另一方面,安排時間給學生對話或當小老師,除了讓他們有機會表現自己,原來當聆聽者的同學也真的有在消化別人的思考,融合為自己的知識。以下是一個令人讚嘆的例子。

Fanny在解答「一班40位同學,其中3/8的人得獎,問有幾多位同學獲獎呢?」這個問題時,她用的是畫圖法(見圖2.1)。她畫的比Mike仔細,具體用40個小圈代表40人,這樣當然會比較花時間,如果稍進一步抽象化,就可以像Mike那樣,用長條或格子代表10人或5人。

圖2.1:Fanny 的圖解法

除了以上自己的解法之外,Fanny還欣賞到鄰座Jojo有別於自己的做法,以至在自己的畫作旁,加入了Jojo的的列式計算表達法,更標籤了原作者Jojo的名字(見2.2)。

圖2.2:Fanny 加入了鄰座同學Jojo 的計算法

最後,從Mike的解說中,你猜猜Fanny又吸收了什麼新東西?原來當老師努力拆解Mike到底在說些什麼時,Fanny已經吸納了用每一長條代表10人的做法,加在自己畫作之下,再標明這麼做法是源自Mike的。(見圖2.3)

圖2.3:聽完Mike 的解說,Fanny 採用了比較簡單的畫圖法

Fanny的學習態度實在是非常謙虛,她能夠在其他同學的作品中,找出獨特的東西,消化融合成為自己的知識和技能。由此可見她的學習不限於老師和課本,而是從任何人或事都可以有所得益。

當然,像文中所寫這樣充滿真對話的學習群體,不是從開始就達到文章所展示的教學效果,這是經過全校師生努力建立起來的(註3)。開始時總會混亂和嘈雜,但是只要能夠達到讓學生自主學習、樂於學習而又學得到的目標,實在值得一試。如果你不想再把學生埋在操練中,而又事倍功半,甚至是徒勞無功的困局,這更是一個好選擇。

註1: 文章「畫出你的數學來」之一至之四。

註2:上一篇〈數衷情:錯中有思考〉。

註3:力推正向教育的八鄉中心學校,透過課程和活動,提供很多機會讓學生學習表達和聆聽的溝通能力,即使在數學課也如是。就像在合適的土壤上栽種,老師用心設計和推行「畫出想法來」的課節,給老師和學生都帶來寶貴的學習經歷。

畫出你的數學來之五

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