「畫出想法來」的數學課,容許學生犯錯,老師欣賞他們的錯是經過主動思考的另類想法。(Shutterstock)

「畫出想法來」是先給學生打開一個投入學習的闊門,營造一個活潑貼地的學習氛圍,讓學生放膽嘗試,用自己擅長的工具去展示自己的思考的角度。

作者:潘瑩明 (2019年11月2日於《灼見名家》發表)

有些學生喜歡數學是因為:「數學考試最公道,因為對錯分明,評分標準乾淨俐落,最好一點是不用寫很多文字。」看看這填充題:“5 x 0.5 =  ___” (問題1),不用解釋,只要簡單填上2.5就對,可以拿滿分了。

不過,如果你填上0.25 就肯定錯了,得分是零。老師可不會顧念你還背得出乘數表的五五二十五,給你打一半的分數喔。這可是有人快樂有人愁了。而且,假如數學試題都是這樣,而數學學習又以這樣的試題為目標,豈不是在訓練機械人的思考方法?

是機械還是人的思考

那麼,把上述問題1改為文字題:「你有5塊曲奇餅,把一半給了我。你還有多少塊餅呢?」(問題2), 加入處境應用的意義,可算是一條給人做的問題吧。這時學生答:

“5 x 0.5 =  0.25”,雖然最後的數字答案還是錯了,但他可是有經過思考而用數式,至少“5 x 0.5”表達「平分一半」的意思,這正是錯誤中的正確思考。

可惜,即使只要學生列式計算,也有不少學生會錯用了:“5 x 2”,“0.5 x 2”的數式(註1),還是看不出他們由閲讀理解到寫出數式之間,出了什麼岔子。有老師試過在課堂提出這個分餅問題,而且在要求列式計算前,先讓學生畫出分餅的做法,看看學生在處理文字題時,關卡在那裏。

結果,全部學生都能夠成功表達他們對問題的理解(例如圖1A和2),而且口頭也說得出答案是「兩塊半餅」。

學生畫出不同的分餅法:

圖1A

圖2

當時就是畫出圖1A的學生,寫了對的數式而算出錯的答案“0.5 x 5 =  0.25”。因為老師不是為了試卷評分,而是更想知道學生怎樣算出0.25,所以老師沒有即時指出0.25是錯的,反而請學生說明一下為什麼是0.25。於是學生便充滿自信地,指着圖1A中4塊切走了一半的餅,再在下面加上標記,並寫下“0.5 x 4 =  0.20”,成為圖1B,然後指着最右邊半塊餅説:「這就是那0.05塊餅。所以合起來 0.20 + 0.05就是0.25了。」學生理直氣壯地解說了怎樣得出這個他從來不認為是錯的答案。

圖1B:學生解釋為什麼0.5 x 5 = 0.25

這次,老師終於明白了這名學生,為什麼他的小數答案總是出錯了。其實學生不是不受教,只是平日老師教了一套小數的記數方法,而學生不明白,所以不願意死跟,於是用自己的角度去思考,把老師的一套自行消化,做出另一套小數記數法。

經過認真思考的改正

可以向老師詳細講出自己想法的學生是幸運的,他們有機會為自己的想法辯解,在辯解中繼續用思考去學習,不用硬吞一些不明所以的知識和道理。老師耐性的詢問和聆聽,往往鼓勵到學生愈戰愈勇。

同一群學生,到了「畫出想法來」的第6節課,老師提出這樣的問題:「一班40位同學,其中3/8的人得獎,問有幾多位同學獲獎呢?」同樣讓他們先畫圖,跟同學互相解說,再列式計算,最後選派兩位學生,向全班同學演示不同的處理方法,讓同學談論不同方法的異同。

這次,我留意到有一位學生Mike的畫作和數式(圖3)。單看圖和數式是沒有錯的,但是檢查一下題目原意是40人,當學生把全班人數分成8格,然後隨意地把每格當成代表10人,總數便變成80人了。當時其實不少學生都有犯上這個大意的錯誤。

圖3:Mike的畫作和數式

於是我指着Mike的畫作問:「你這裏有多少人呢?」他説80人。跟着我指住他之前寫下題目時的40,問他:「你怎樣比較這兩個數字呢? 」想了一會兒,他看出了40是80的一半,所以他說圖中的每一格也應該是10的一半,即是5人而不是10人。我看他已找出線索,就轉去看看其他學生的做法。

稍後,老師邀請個別同學站出來展示和解説自己的做法時,Mike熱切地舉手爭取得到出來演示。我還以為他會像一般學生的做法,塗去原有錯誤的部分,以便只把成功的一面展示給人。

但他竟然毫不掩飾自己錯了的部分(即圖3),之後加上(圖4)解說他怎樣從錯誤中出正確解答的思考過程(註2)。由於Mike結結巴巴的解說,險些兒令老師和同學着眼於(圖3)錯誤的部分,再跳去(圖4)的數式,聽不懂他是怎樣轉變過來呢?

圖4:Mike分享了自己從錯誤中找出正解的思考過程

有思考地錯,認真的學習

「聽一次就明白,練習多幾次就記得。」 這是對學生不切實際的期待。學生不是按程式操作的機械人。無論老師的講解多有條理,多清楚明確,學生也不會單一地按老師指定的角度來接收。有時學生出錯只不過是他們用了另外的角度去思考,這麽主動積極的學習,絕對要多加鼓勵。

在數學課中,其實列式計算應該已到了展示學習成果的一步,之前要經過多少思考和抉擇,也即是要經過多少出錯的關卡,才能走到這一步。「畫出想法來」是先給學生打開一個投入學習的闊門,營造一個活潑貼地的學習氛圍,讓學生放膽嘗試,用自己擅長的工具去展示自己的思考的角度。再加上讓學生先用日常語言向同學解説自己的想法,不用一下子就跳去列式計算。即使到了列式計算,仍然鼓勵學生們互相解説自己選擇的數式和計算方法。遇到不同的想法就互相檢查、比較、辯解,這樣,老師不用做批改作業的判官,不只看數式和數字答案,不會見到不符標準答案就打一個交叉;跟着,也不會造成,即使學生不明緣由,也要抄寫一次標準答案作為改正這種反教育的常規操作。

「畫出想法來」的數學課,容許學生犯錯,老師欣賞他們的錯是經過主動思考的另類想法。這樣的課節比較花時間和心力。但是保留以至增長了學生主動學習的動力,這樣不是比起重覆走過聽課、看例題、做練習、交習作、做改正的過程,更符合少年人的本性嗎?而且還學到德育,因為,這一回竟然不是按權威來災對錯,而是學生從被尊重中學會尊重別人,也就比較聽得入別人的不同説法,願意再思考來調整自己的想法。

註1:文中的例子來自八鄉中心學校,老師們用心設計和進行了7次「畫出想法來」的數學課節,讓學生學習表達和聆聽的溝通能力,給學生和老師帶來寶貴而有效的學與教經歷。

註2:八鄉中心學校的學生,多來自少數族裔家庭,包括尼泊爾、巴基斯坦、印尼等,校內以英語作溝通語言。

畫出你的數學來之四

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